La introducción al tema se hizo a partir del análisis de una situación problemática:” Marcela lleva en su cartera $20, pero sabe que debe reservar $4 para el viaje ¿Cómo debe ser la cifra que debe gastar para lograr esto? Vimos que se traduce en una desigualdad. Si Lamamos x a la cifra que Marcela puede gastar y escribimos: x + 4 ≤ 20 lo que nos permitió formalizar el concepto de inecuaciones.
Definición: Se llama inecuación a una desigualdad en la que aparecen una o más incógnitas. Resolver una inecuación es encontrar los valores de la variable que verifican dicha desigualdad.
Simbólicamente: ax+b>0 o ax+b<0
Antes de trabajar con inecuaciones analizamos las propiedades de las mismas:
● En la desigualdad a < b, si sumamos o restamos un mismo número a ambos miembros, obtenemos una desigualdad del mismo sentido.
a < b 3 < 5
c = c 2 = 2 .
a+c < b+c 3+2 < 5+2
● Al multiplicar o dividir por un número positivo se mantiene el mismo sentido de la desigualdad, pero al multiplicar o dividir por un número negativo se invierte el sentido.
a < b a < b
c = c c = c
a x c < b x c si c >0 a x c < b x c si c >0
Para lograr una mejor comprensión trabajamos algunos ejemplos:
a) -2 + x < -3
x ≤ -3 + 2
x ≤ -1
b) -3x + 2 < 12
-3x ≤ 12 – 2
x ≥ 10 : -3
x ≥ -10/3
c) (-x+3)/2 < -5
-x + 3 ≤ - 5. 2
-x ≤ -10
x ≥ (-10): (-1)
x ≥ 10
Inecuaciones (con dos incógnitas)
Seguimos trabajando el concepto de inecuaciones pero apuntando a las inecuaciones con dos incógnitas.
Se presentó la siguiente actividad:
A) Señalar con distintos colores, en un sistema de ejes cartesianos ortogonales el conjunto de los puntos del plano en los que:
● La abscisa es igual que 0
● La ordenada es igual que 0
● La abscisa es igual que ordenada
B) Indiquen cuáles de los siguientes semiplanos corresponden a los puntos en los que:
● La abscisa es mayor que 0
● La abscisa es menor que 0
● La ordenada es mayor que 0
● La ordenada es menor que 0
Una vez realizado este trabajo arribamos al siguiente concepto:
Una inecuación de primer grado con una o dos incógnitas determina una región del plano.
La respuesta gráfica de una inecuación con dos incógnitas es un semiplano que incluye o no a la recta que lo determina.
Resolvimos gráfica y analíticamente la siguiente situación problemática:
La suma de dos números es mayor o igual que 5. ¿Cuáles pueden ser dichos números?
x + y ≥ 5
y ≥ 5 – x
Sistemas de Inecuaciones
Mercedes está cursando una materia en la facultad de Sociología. Para promocionarla (aprobar sin dar final) debe rendir 2 parciales con las siguientes condiciones:
● la suma de las notas de 2 de los parciales no debe ser inferior a 14
● la nota máxima de cada parcial es 10
● la nota de cada parcial no debe ser inferior a 5
En el análisis del problema se formalizó el concepto de inecuaciones y se les presentó la definición de SISTEMA DE INECUACIONES.
Definición: Un Sistema de inecuaciones lineales es un conjunto de varias inecuaciones que deben verificarse simultáneamente. La solución del sistema corresponde a la región del plano que es la intersección de los semiplanos determinadas por cada inecuación que lo conforman
Se presentaron ejemplos y graficas en los cuales les permitan aplicar los nuevos conceptos:
Investigamos como determinar si un punto dado pertenece o no al conjunto solución del Sistema.
Dado el punto (0,2) verificamos
A) y ≤ 3 2 ≤ 3
x > -2 0 > -2 el punto (0,2) satisface todas las inecuaciones del sistema por lo que decimos que pertenece al conjunto solución
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